变量的表示范围与浮点数精度(提高篇)

本节主要介绍Fortran中的变量的范围，简单介绍IEEE754和浮点数的误差

整数

计算机使用二进制来表示数据，一个默认的整数类型占4个字节，一共有32位，每个位有两种状态，所以一共可以表示的数据量为$2^{32}$。

因为我们需要同时表示负数、正数和零，所以，整数的表示范围被设计为$[-2^{31},2^{31}-1]$一共有$2^{32}$个数。

如果需要表示的数据超过了这个限度，那么就需要kind值更大的整数类型integer(8)来表示

整数是完全精确的，但是在实际的生活工作中，我们不一定需要这么精确的数，$\pi=3.14$或者是$\pi=3.141592653$对某些计算来说并不重要。但是相对的，数值可以表达的范围对某些行业更为有用，比如天体之间的距离。所以我们可以舍弃一部分的精确度来换取更大的表示范围，这就是浮点数。

按照IEEE754 浮点数的标准，浮点数由三部分组成:符号位(sign)，指针偏移值(exponent)和分数值(fraction)。一个浮点数是这三部分的乘积$Value=sign\times exponent \times fraction$

浮点数的默认类型也是占4个字节，32个位，所以能表示的状态最多也是$2^{32}$个，因此，注定有些数字没有办法精确表示，IEEE754的处理方法是：

$$(sign)1+(exponent)8+(fraction)23=32$$

浮点数就是利用exponent把给定的fraction按照比例放大或者缩小。即能用这个公式表示出来的都是精确的数，其余的数都是近似等于这些数中的一个。

所以，浮点数的精度是由fraction来决定的，在十进制表示下，精度为$log_{10}2^{23}=6.923$，所以通常说单精度浮点数的有效数字是6.9